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sabato 11 marzo 2017

Post tecnico (asimmetria di trasformata non lineare)

(...mentre al convegno su Plan B, progetto che nasce morto per i noti motivi, tutti chiedono "perché non c'è Bagnai?" - risposta; perché dovete diventare adulti - e la piccola Vysinskij de noantri - quella che "Bagnai non può venire perché ha parlato con Salvini!", che tradotto suona: "Bagnai non può venire perché fa sul serio e io alla mia cadrega in Europa ci tengo, compagni!" - la piccola Vysinskij, dicevo, defeca le sue insensatezze - "No alla sovranità, no alle nazioni!", che tradotto significa: io sto a Bruxelles, in un posto infestato dalle lobby, e quindi voglio lasciare alle grandi imprese multinazionali campo libero, abolendo il loro nemico principale e apertamente dichiarato: la sovranità popolare democraticamente espressa e disciplinata dai processi politici e costituenti nazionali - io me ne sto all'auditorium a vedere la mia Uga che pattina, e a referare l'articolo di un tale che avrei stroncato anche se fossi di cattivo umore... A cotal proposito, vi pongo un quesito tecnico. Lo capirete in sette, proverete a rispondere in tre, la risposta utile sarà una. Voi siete la mia ricchezza, e lo siete perché ho ascoltato e risposto a tutti. Ho, cioè, fatto politica, vissuto la polis, questa mia, questa nostra polis. Il risultato di operazioni come quella della piccola Vysinskij - e altre ne ho da raccontarvi - è duplice: screditare la sinistra, e far emergere come uno statista Salvini, che, per quanto abbia ovviamente fatto - e continui a fare - cose discutibili, andando a Napoli - operazione che può essere anche legittimamente derubricata a provocazione, a opportunismo, a quello che vi pare - ha almeno fatto finta di prendere in considerazione l'interesse nazionale. Gli altri non fanno nemmeno più finta, e per questo incipiam evomere illos ex ore meo. Alla piccola Vysinskij auguro buona fortuna, e quando la auguro io sapete quanto mi riesce bene. Pensate ad esempio al nostro direttore di giornale preferito...)

Considerate una variabile aleatoria x(t), dove t indica il tempo, che suppongo campionato in modo discreto, come nell'analisi delle serie storiche classica. Mi interessano i momenti della distribuzione di Dlog[x(t)], definita come log[x(t)]-log[x(t-1)]. Come sapete (se non lo sapete, questo non è il vostro post), Dlog[x(t)] approssima la variazione percentuale di x(t).

Ora: supponiamo che Dlog[x(t)] abbia una distribuzione asimmetrica, nel senso che il rapporto fra il suo terzo momento centrale e il cubo della radice quadrata del suo momento centrale (sintesi: il cubo dello scarto quadratico medio) sia diverso da zero.

Ok, se siete qui avete il pollice opponibile. Ora vediamo come lo usate (perché io non ne ho voglia).

Consideriamo ora la variabile z(t) = x(t) + k, dove k>0 è una costante. Quindi z(t) è una trasformazione lineare di x(t), con tutto quello che ne consegue. Adesso arriva la domanda: cosa mi dite dell'asimmetria di Dlog[z(t)]? Le trasformazioni lineari preservano il coefficiente di asimmetria (in particolare, l'aggiunta di una costante non ha particolare impatto sui momenti centrali). Ma in questo caso la trasformazione è non lineare. Il mio educated guess è che questo tipo di trasformazione in qualche modo "schiacci" il coefficiente di asimmetria, cioè che l'aggiunta di una costante additiva a una variabile il cui tasso di variazione percentuale ha una distribuzione asimmetrica, renda meno asimmetrica la distribuzione del tasso di variazione percentuale della variabile trasformata (sarebbe la nostra z). Se me lo dimostrate, poi vi faccio fare due risate su come funziona la #pirreviù delle riviste brave. Se la mia congettura è infondata, mi dite: hai detto una cazzata (ma naturalmente me lo dovete dimostrare).

Io intanto je do dde sega...

(...tanto per chiarire: su questo c'è un po' di letteratura, ma non risponde esattamente alla mia domanda...)

(...a proposito di gente piccina: ieri sera ho conosciuto un simpatico socialista qualcosa - non ricordo se rivoluzionario, riformatore, democratico, o similare - che aveva la caratteristica di essere amico di un nostro vecchio amico, l'uomo che sussurrava ai trulli. Mi fa: "Ma per lui sei diventato una vera ossessione, poverino, parla sempre di te? Ma che gli hai fatto? E soprattutto: perché gli hai dato visibilità?" E io, paziente: "Vedi, compagno, talora le analisi necessitano di un mezzo di contrasto. Immagina di avere un problema all'esofago: ti fai un bel bibitone di bario, due raggi, e poi lo ricachi. Ecco: questo è l'uso che faccio di certi gentili interlocutori nel dibattito: in realtà non do visibilità a loro, se non la visibilità del bario - che è opacità. Le menti opache, talora, aiutano a rendere più visibile il mio ragionamento. E poi le evacuo...". I piccoli Vysinskij, invece di evacuarli io, li lascio evacuare alla SStoria...)

29 commenti:

  1. Questo della ossessione per il prof, andando per social, è uno dei fenomeni più sorprendenti. Sono i "seguaci neri". Li incontri, a gruppi, che ne sparlano, continuamente. E intanto continuano a parlarne. Ma, amici, viene da dire loro (e in qualche caso gli ho anche detto): ma com'è che seguitate a occuparvene? Anche io seguo Bagnai, mica lo nego: ma io dichiaro che lo stimo e ritengo di avere imparato qualcosa da lui e di avere ancora magari da imparare (non i logaritmi, questo no, mi sono arresa da tempo su certi argomenti).
    Dove è invece la logica nel seguirlo, commentare ossessivamente i suoi post, ma solo per cercare di smentirlo, esortarvi a vicenda a confutarlo e intanto non riuscire a occuparvi di altro? Non so, come se io leggessi ossessivamente, chessò, Udo Gumpel, per poi commentare con sprezzo tutto quello che dice. Ma chissene di uno che hai capito che non ne dice una giusta? Non trovo il tempo di leggere l'Orlando furioso, che mi piacerebbe tanto, e dovrei dedicarmi a qualcuno al solo scopo di tentare di dimostrare che non ne azzecca una?
    Una roba così la fanno solo le ex fidanzate, peraltro solo finché sono ancora innamorate. Poi, quando l'ammore passa, di solito perdono interesse anche loro.
    No, quello dei seguaci neri è un fenomeno veramente inspiegabile. Mah. Forse in realtà è ammore (che l'ammore spiega sempre tutto, se sa).

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  2. Concordo con le tue conclusioni (qualsiasi esse saranno) soprattutto perché questo Dlog[z(t)] a me non è mai piaciuto. :) :)

    A parte le tante (troppe) asimmetrie europee, conosco solo asimmetrie.org quindi faccio così, continuo a finanziare asimmetrie.org e tu fai referaggi e studi che ti riescono particolarmente bene ;)
    Tanto per quanto possiamo opporci la SStoria (anche via mercato) farà il suo "sporco" lavoro, e alla Sola lo stanno capendo sulla loro pelle.

    Come dire ad ognuno i propri compiti secondo le proprie capacità e possibilità.

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  3. Potrebbe sembrare in effetti che il convegno in corso a Roma e pomposamente presentato come "Piano B", sia stato concepito come una Conventio ad excludendum. Ma le cose, a ben vedere, non stanno affatto così, si tratta piuttosto di una Conventio ad (auto)excludendum, nel senso che il promotore si è scelto la compagnia per divorziare, mica solo da noi, bensì dalla realtà.
    E poi, che "Piano B" e "Piano B"? Quello in corso è una rimpatriata di corifei del "Piano A", riformare l'Unione, riformare l'euro e la Bce ecc., ecc.
    Un convegno para-serio ad usum fabricae, dove la fabbrica è la topaia dove gli ultimi stregoni provano a rianimare, con degli ἀβρακαδάβρα, il cadavere della sinistra radicale.


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    1. Morè, lo sai che tte vojo bbene, ma il tuo principale difetto è quello di non fidarti. Ora ti ho mandato le prove documentali della porcata fatta dai rifondaroli terminali, cioè di come gente arrivata lì per caso e la cui carriera politica è al capolinea abbiano screditato un evento peraltro inutile. Mica per niente, sai: almeno ora tu sai che la guerra me l'hanno dichiarata loro. O mi portano (metaforicamente) uno scalpo (ma non lo faranno), o io avrò i loro in qualsiasi modo. Io potrei anche passare sopra all'insulto fatto a me da queste personcine insulse e politicamente irrilevanti. Ma non posso passare sopra al dolore della mia gente. Quindi preparati a scrivere altri begli articoli come quelli sul Bagnai piduista (o massone, o... ma che cazzo scrivevi, Morè!?), perché la decisione è presa, e ora tu sai che l'hanno presa loro. #sesemocapiti

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  4. two cents "infinitesimi"

    (e perché ho infatti un referaggio da fare, nel senso che in questi casi ogni distrazione è buona)

    Prima nota, immagino che x(t)>0, se no uno si può aspettare anche che la sua variazione percentuale aumenti, a seguito di aggiunta di k>0.

    Comunque: chiamiamo x0=x(t-1), x1=x(t), così che y = log(x1/x0) è la nostra variabile asimmetrica.

    Considerando una trasformazione con k infinitesimo (k << x0, x1), ottengo che la variabile y cambia così:

    y ~> y + k/x0 (e^(-y) -1)

    Quindi, se x0 è positivo (vedi nota sopra), questa trasformazione aumenta gli y negativi esponenzialmente, e diminuisce quelli positivi, ma un po' meno.
    (nota, y molto negativo va fuori dalla nostra approssimazione k << x0, x1).

    Una trasformazione nonlineare asimmetrica di y, che quindi cambia l'asimmetria della sua distribuzione. Direi che l'asimmetria finale vada verso il positivo, perché si tira su il dominio negativo più di quanto si abbassi quello positivo...


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    1. Aggiungo un chiarimento. Che la trasformazione di y (=Dlog(x)) abbassi y grandi e alzi y negativi, vuol dire che comprime y.

      Per dire, vicino a y~zero (che forse è il caso interessante, suppongo che non si studino variazioni percentuali da guerra termonucleare), la formula sopra dice y ~> y (1-k/x0).

      Quindi essendo una compressione, tutti i momenti si riscalano naturalmente. Infatti diminuiscono, in accordo con l'intuizione che tutte le variazioni percentuali scendono, aggiungendo k a x(t).

      Come sempre, se riscalo la variabile con un fattore, riduco il momento secondo e il momento terzo con il quadrato e il cubo del fattore. Questo lascerebbe invariata l'asimmetria, A = m3 / m2^3/2.

      Epperò, e qui sta il punto, la compressione è nonlineare, quindi comprimendo più i negativi dei positivi (come si vede studiando la funzione sopra...) ne risulta che l'asimmetria cambia verso il positivo.

      A -> A + # k/X0

      (dove # è un numero che dipende dalla PDF originale).

      Insomma, mentre il fattore comune si cancella, m2 e m3 sentono diversamente gli y grandi, quindi l'asimmetria cambia.

      Per es partendo da una distribuzione simmetrica si va a finire in una con asimmetria positiva. Invece partendo da una asimmetrica negativa, l'asimmetria scende (o magari diventa anche positiva).

      Credo non si possa dire molto di più... per k grande mi pare abbastanza complicato, e dipende fortemente dalla pdf originale... Spero tutto ciò utile.

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  5. Prof, ha ragione lei.

    Una costante non ha nessun impatto sulla differenza assoluta fra x e il valor medio (esempio x = 5, x_medio = 4, differenza 1, se k = 100 allora z = 105, z_medio = 104 differenza sempre 1).

    Viceversa, può avere grande impatto sulla differenza percentuale, (x-x_medio)/x_medio = (5-4)/4 = 25%, mentre (105-104)/104 = poco per cento.

    Quindi tutti gli effetti connessi agli incrementi percentuali, ivi comprese le eventuali asimmetrie, saranno ridotti dal riscalamento con k > 0.

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    1. Sì, che 10 è il 10% di 100 e l'1% di 1000 me ne ero accorto e ve l'avevo anche detto, ogni tanto. Questa è la lectio facilior. Mi serviva una lectio difficilior perché ai miei colleghi il buon senso non basta (nonostante non ne abbiano).

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  6. "z(t) = x(t) + k, dove k>0 è una costante"

    Chissa' se queste considerazioni possono aiutare nella dimostrazione.

    Si puo' sempre scrivere x(t) + k = a x(t)

    per cui (se a > 0)

    log z(t) = log x(t) + log (a)


    Se k e' molto piccolo rispetto a x(t) allora a sara' prossimo a 1 (e log 1 = 0 in tutte le basi).

    Ma quando k cresce e non e' piu' tanto trascurabile rispetto a x(t) allora log a avra' il noto andamento (che satura con a >> 1).

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  7. Per la parte tecnica non posso scrivere perchè non conosco e tutt' al più posso leggere ,con il pio (ed improbabile) desiderio d' imparare .Ma so molto per quanto riguarda alle piccole Vysinskij .Erano lo stesso tipo umano dei miei colleghi di corso attivisti della Fgci che si compiacevano,l' 11 marzo del 1977(esattamente 40 anni fa),che i carabinieri avessero sparato contro gli studenti del Movimento che andavano ad occupare medicina .Ci scappò il morto .Costoro,e chi li ha poi mano a mano rimpiazzati , sono gli stessi che hanno impedito poi che i partiti delle classi subalterne s' opponessero ai trattati europei che hanno svuotato la sovranità d' uno stato pluriclasse retto da una Costituzione lavorista tradendola( come il loro tipo umano di riferimento tradì la rivoluzione con i processi di Mosca). Non credo che abbiano scrupoli a compiacersi ancora se gli eventi legati al vicolo esterno che ci riduce ad una colonia, prendessero una piega nefasta,come la mattina dell'11 marzo di 40 anni fa.Questo è un altro dei molti motivi di preoccupazione che ho per il futuro della nostra comunità nazionale e delle nostre personeche la compongono :abbiamo a che fare con tanti piccoli Vysinskij che vogliono crescere

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  8. Ok, ho dato un'occhiata al link wiki, non capisco la differenza tra quello che chiamano gamma_1 e g_1. Per me sono la stessa cosa, e mi riferisco a quello come 'coefficiente di asimmetria' (su wiki è chiamato indice).

    Da quanto ho capito, la tua congettura è che la funzione g1 calcolata sui delta dei logaritmi e vista come funzione di k (quindi teniamo le x fisse come parametri e variamo k), è una funzione monotona di k, decrescente in valore assoluto (così ho tradotto 'schiaccia tutto').

    Aggiungo inoltre che quella che stai facendo non è una trasformazione dei singoli argomenti di g1. Stai facendo infatti una trasformazione dei dati (aggiungi k), ma la g1 la calcoli sui delta dei logaritmi dei dati trasformati.

    La congettura è falsa. Sia x0=3, x1=2, x2=1, x3=3. Mi viene un g1=0.637 (calcolato sui tre delta dei logaritmi).

    Se aggiungiamo 1 a tutte le x (k=1) mi viene un g1=0.677>0.637.

    Per k-->oo mi viene g1=(sqrt2)/2.

    Quello che succede è che è plausibilissimo che m3 si schiacci, ma (m2)^(3/2) può schiacciarsi di più. (ho usato la notazione da wiki). Inoltre, per k molto grande, calcolare la g1 sui delta delle variabili, o sui delta dei loro logaritmi, è la stessa cosa.

    PS: allego foglio excel (funzionerà fino al 15/03). Basta cambiare il valore di k nella cella verde, sperando di aver interpretato bene il problema.

    https://dl.dropboxusercontent.com/u/23032932/DeltaLog.xlsx

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  9. Yessir professore! la mia intuizione e' simile alla sua per colpa di questo oggettino qua en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution e due conticini sembrano prontamente confermare.

    usando per semplicita' X0 = x(t) e x1 = x(t + delta_t) la variabile traslata da k diviene

    log(x0+k) - log(x1+k) = log((x0+k) / (x1+k)) = log(x0/(x1+k))*log(k/(x1+k))

    Da qui si vedono due cose
    1) se K e' grande l'asimmetria scompare del tutto
    2) se K e' piccolo allora il primo termine e' approssimato da log(x0/x1)=Dlog(x(t)) il secondo ~log(k/x1) il che significa che amplifica in maniera non lineare. Quando x1 e' grande il termine k/x1 e' piu' piccolo il che significa che l'asimmetria viene ridotta (nel caso canonico in cui le code cicce sono a destra.

    Chiaro che c'e' sempre il caso di k ne grande ne piccolo... a quel punto bisognerebbe provare a ragionare per assurdo ma qui e' passata mezzanotte e il mio cervello e' diventato di zucca!

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  10. E pensa poi se invece lo Statista non facesse finta... So dolori per lor signori...

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  11. Penso di poterlo dimostrare con l'ipotesi aggiuntiva della crescenza o non decrescenza della variabile aleatoria utilizzando la funzione generatrice dei momenti e calcolando la derivata terza.

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  12. Per vedere se l'aggiunta di una costante additiva a una variabile aleatoria x(t) a distribuzione asimmetrica renda 'meno asimmetrica' la distribuzione di z (e di D) ho immaginato il seguente esempio (visto che da bravo primate ho 5 dita per mano).

    Poniamo quindi che x(t-1) sia una variabile aleatoria discreta con distribuzione asimmetrica a cinque valori:
    - uno (probabilita' 0.1)
    - due (probabilita' 0.4)
    - tre (probabilita' 0.2)
    - quattro (probabilita' 0.2)
    - cinque (probabilita' 0.1)
    La media pesata risulta 2.9.

    Applichiamo ora la trasformazione 10 log10, cioe' passiamo ai dB (purtroppo gli ingegneri fanno molta pratica con i dB e ne risultano irrimediabilmente 'tarati' anche quando diventano vecchi).

    10 log [x(t-1)] corrisponde a:
    - 0 dB (probabilita' 0.1)
    - 3.01 dB (probabilita' 0.4)
    - 4.77 dB (probabilita' 0.2)
    - 6.02 dB (probabilita' 0.2)
    - 6.98 dB (probabilita' 0.1)


    Ponendo k = 0.1 si ottiene per x(t):
    - 1.1 (probabilita' 0.1)
    - 2.1 (probabilita' 0.4)
    - 3.1 (probabilita' 0.2)
    - 4.1 (probabilita' 0.2)
    - 5.1 (probabilita' 0.1)
    La media pesata e' 2.9 + 0.1 = 3.

    10 log [x(t)] corrisponde a:
    - 0.41 dB (probabilita' 0.1)
    - 3.22 dB (probabilita' 0.4)
    - 4.91 dB (probabilita' 0.2)
    - 6.12 dB (probabilita' 0.2)
    - 7.07 dB (probabilita' 0.1)

    L'incremento (in dB) di 10 log [x(t)] rispetto a 10 log [x(t-1)] varia tra 0.41 dB (primo valore) e 0.09 dB (ultimo valore).

    Tenendo conto che 0.1 db di variazione in piu' corrisponde ad un aumento di circa il 2.3%, vuol dire che un incremento costante di x(t-1) di circa il 3.4% (cioe' 0.1/2.9 di media pesata) non comporta una variazione in dB della distribuzione x(t) pari a 0.14 dB medi(come ci si potrebbe aspettare) ma variabile tra circa 0.4 e 0.1 (rapporto 4:1).

    Questo fenomeno credo corrisponda bene al concetto di 'rendere piu' simmetrica la distribuzione', perche' innalza di piu' chi e' piu' in basso e lascia quasi immutato chi e' piu' in alto.

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  13. Utilizzando una approssimazione se non ho sbagliato i passaggi a me viene che vale la seguente relazione
    Dlog[z(t)] = Dlog[x(t)] * (1 - h)
    con h magari piccolo ma maggiore di zero (se k>0)

    https://dl.dropboxusercontent.com/u/221473/bagnai.pdf

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  14. Mentre stavo per postare ciò che riporto sotto ho visto quanto scritto da tenormadness81 che esegue calcoli simili ai miei.
    Io credo che però si sbagli nel dire che con k grande l'asimmetria sparisca.
    Esempio, con:
    10000, 10000, 10000, 10000, 10005
    mi sembra non succeda.

    Ecco dunque il mio calcolo valido solo per k grande (perciò forse poco utile alla bisogna):
    per 'k' molto maggiore (in valore assoluto) dei valori 'x(t)' l'indice di asimmetria 'g1' tende a restare costante al crescere di 'k'.

    Si consideri la serie di Taylor di 'log(1+x)' e la definizione di di 'DLog(z(t))' si ottiene (con qualche passaggio):

    DLog(z(t)) "circa uguale a" [x(t) -x(t-1)]/k per k >> x(i) e per ogni indice i.

    Nella formula di 'g1' il termine 1/k (che e' una costante) si elimina (si noti che la media di [x(t) -x(t-1)]/k è uguale alla media di [x(t) -x(t-1)] fratto k).

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  15. Non riesco a dire molto sul simpatico problema tecnico. Dico due banalità forse utili a formalizzare, ma non a risolvere.

    Chiamo x(t-1) semplicemente x, x(t) invece la chiamo x'. E così ho anche z e z'. Poi chiamo p la variazione percentuale di x, e p* la variazione percentuale di z. Cioè x'=x(1+p) e z'=z(1+p*). Come dice giustamente Alberto, Dlog approssima p, e siccome il logaritmo è difficile, provo a dire qualcosa su p.

    Ora è facile vedere che p*=py con y=1-k/(x+k) compreso tra 0 e 1.

    Questa osservazione forse corrisponde all'intuizione che la traslazione di k crea una variazione percentuale più schiacciata, ma non credo basti a dire che p* è meno asimmetrico di p. La asimmetria non è solo il momento centrale terzo, ma è quello riscalato col secondo (alla 3/2).

    In particolare è importante realizzare che tra p* e p c'è un fattore aleatorio, che dipende da x. Se x è indipendente da p (cosa che in generale non credo sia vera, visto che immagino che stiamo parlando di una serie con p più o meno stazionaria e x che è generata da moltiplicazioni successive di 1+p ai tempi precedenti) penso sia facile trovare controesempi all'idea di una riduzione della asimmetria, cioè immagino che posso trovare una distribuzione di x che faccia diventrare p* più asimmetrico di p (anche se più piccolo).

    Se x e p sono dipendenti, è un altro paio di maniche e la vedo dura. Lascio la parola a un matematico che sa come divertirsi a suon di diseguaglianze integrali. Può anche darsi che qualcuno lo abbia già fatto (come spesso succede). Se mi capita chiedo a qualcuno dalle mie parti.

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  16. La trasf. x/y -> (x+k)/(x+k) avvicina i punti all'unità: se più piccoli li alza, se più grandi li abbassa. Quindi sia il momento terzo che il secondo diminuiscono.
    Il logaritmo però ha un effetto strano perché "aumenta la asimmetria sinistra". Cioè simmetrizza le distribuzioni usuali (con asimmetria destra) mentre aumenta la simmetria delle sinistre (cosa mai detta nei paperes o nei libbri). Per la varianza, invece, il discrimine sta di nuovo nell'1. Ha effetto esplosivo per i rapporti minori di uno mentre diminuisce quelli maggiori.
    Quindi il controesempio si può trovare quando la PDF del primo rapporto sia ben sopra all'1. Che tutte e due si abbattono e succede la qualsiasi.
    E in effetti l'ho trovato. In R, uno più lungo con troppi numeri
    g3(log(x/y))
    [1] 1.298906
    > g3(log((7+x)/(7+y)))
    [1] 1.607184

    Uno con dieci, che da negativo lo fa positivo
    > g3(log(xx/yy))
    [1] -0.3920366
    > g3(log((7+xx)/(7+yy)))
    [1] 0.178268
    > xx
    [1] 0.2289640 2.1836889 1.1908097 0.8900095 0.6417836 0.6917676 0.9545345
    [8] 1.4645549 0.5632413 1.0113300
    > yy
    [1] 0.2153709 2.0525439 1.1159219 0.8319461 0.5983429 0.6439100 0.8873130
    [8] 1.3606267 0.5227389 0.9369293
    > g3
    function(x){
    m3 <- mean((x-mean(x))^3)
    m2 <- mean((x-mean(x))^2)
    m3/m2^1.5}
    >
    Naturalmente se la media è uno la cosa cambia e l'effetto sulla varianza diminuisce, e quindi l'idea è giusta: ci si aspetta in quel caso la riduzione dell'asimmetria standard.
    :-)

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  17. Siccome sono diversamente scaramantico e 17 commenti non mi piacciono. Posso dire che il mal di testa è esploso a metà post?

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  18. Ora,io sarò certamente beato, ma mi risulta che la derivata della somma sia uguale alla somma delle derivate.
    Dopodiché la derivata di una costante è pari a zero.
    Quindi Dlog[z(t)]=Dlog[x(t)].
    Pertanto le 2 non potranno che avere le stesse caratteristiche...
    Attendo gli insulti.

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    1. La costante k è sull'argomento del log, quindi NON puoi applicare:
      Dlog[x(t)+k] = Dlog[x(t)] + Dlog[k]

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    2. No. Qui si vuole calcolare la derivata del logaritmo di una somma, non la derivata di una somma.

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    3. Avete ragione. Mi pareva troppo facile...

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  19. Pur sapendo che, causa un mio precedente commento, non sono particolarmente gradito, provo comunque a dare un piccolo contributo.
    Questa volta premetto fin da subito: absit iniuria verbis, ma la z non è una trasformazione lineare per x, infatti per definizione dovrebbe essere:
    z(x1+x2) = z(x1)+z(x2) = x1+x2+2k
    invece z(x1+x2) = x1+x2+k
    analogamente si dimostra che z(a*x) è diverso da a*z(x).
    Quindi se nel paper di cui sta facendo il referee si parte dall'ipotesi che z sia lineare rispetto a x, già questa potrebbe essere un'inesattezza rilevante.
    So che non risponde pienamente alla domanda posta ma ritengo comunque sia un aspetto da considerare visto che, non essendo linere, introduce sicuramente degli elementii distorsivi (ossia non lineari) sui vari momenti.

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  20. Provo cosi': per definizione
    D(log(z))=x/(x+k) D(log(x))
    Indico con I l'integrale in dt e scrivo il terzo momento della distribuzione che definisce la asimmetria della distribuzione. Sfruttando l'ugualianza di prima trovo
    I(t^3 D(log(z)))=I (x/(x+k) t^3 D(log(x)))

    poiche` la funzione x/(x+k) e` sempre minore di 1 per k>0 e x>0 va da se` che :

    I (x/(x+k) t^3 D(log(x))) < I (t^3 D(log(x)))
    e quindi la asimmetria di D(log(z)) e` minore della asimmetria di D(log(x))
    quindi quello che pensa e dice il professore mi sembra dimostrato da questo ragionamento
    Giusto?

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  21. Direi che è stata una Caporetto, ma tranquilli: dove siete caduti voi, sono caduti anche altri migliori di voi... Io intanto sego!

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